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Teorema Fundamental del cálculo.
Teorema Fundamental del cálculo. |
Llegamos ahora a la conexión que haya entre integración y derivación. La relación entre estos dos procesos es, de algún modo, análoga a la que hay entre 'elevar al cuadrado' y la 'raíz cuadrada'. Si elevamos al cuadrado un número positivo y después tomamos la raíz cuadrada del resultado, obtenemos el número original. De igual modo, si integramos una función continua obtenemos una nueva función (una integral indefinida de f) y si diferenciamos esta función obtenemos la función original.(Apostol, pp. 202)
Esta conexión entre diferenciación e integración es muy sorprendente. La integración está relacionada con la suma de muchos números pequeños (por ejemplo, cuando calculamos un área, la longitud de una curva, etc.) y la diferenciación es la tasa de variación instantánea (una interpretación gráfica de la derivada es la pendiente de la tangente a la curva). El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que estos dos conceptos están íntimamente relacionados.
Ya hemos visto varios ejemplos cuando diferenciamos e integramos funciones polinómicas pues ya vimos cierta relación.
Sabemos que si f es integrable, entonces F(x) [una integral indefinida] es continua. Nos podemos preguntar que ocurre cuando la función original f es continua. Resulta que F es diferenciable (y que su derivada es especialmente simple).[Spivak]
(EL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO) Sea f una función integrable en [a,b], y definimos una nueva función F en [a,b] por
Si c es un punto de (a,b), mirando la imagen podemos aceptar que
Si f tiene mejores propiedades, por ejemplo, si f es continua en todos
los puntos de [a,b], entonces F es diferenciable en todos los puntos de
(a,b) y
o
La idea es que empezamos con una función f:
Consideramos una integral indefinida F (arrastando el límite inferior de integración obteneos diferentes funciones integrales):
En un punto diferenciamos esta función F (gráficamente estamos considerando la pendiente de la recta tangente):
Entonces:
Este Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que toda función continua tiene una
antiderivada y nos muestra cómo construir una usando una
integral indefinida.
Incluso funciones no diferenciables con esquinas, tales como el valor absoluto tienen una antiderivada.
Muchas veces el problema es cómo encontrar una antiderivada de una función, es decir, dada una función f(x), encontrar una función F(x) tal que F'(x) = f(x).
Un caso importante es cuando queremos integrar una función que tiene una
antiderivada (o primitiva). Es decir, conocemos una función f y
queremos
integrar f' (o tenemos que integrar f' y podemos encontrar una primitiva
f). En este caso, podemos ver la función que queremos integrar como
una tasa de variación y la integral como un acumulador de este cambio
(un ejemplo: la integral de la velocidad es la distancia recorrida).
Muchas veces el problema es cómo encontrar una antiderivada de una función, es decir, dada una función f(x), encontrar una función F(x) tal que F'(x) = f(x).
| ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon. |
| (2015). Teorema Fundamental del cálculo. En: matemat… Consultado elSábado, 14 de noviembre de 2015 Se encuentra en: http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/ftc/ftc1.html |
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