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Sistemas de ecuaciones equivalentes.
Sistemas de ecuaciones equivalentes. |
Entender los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.
Se dice que dos
sistemas de ecuaciones lineales son
equivalentes cuando tienen las mismas
soluciones, es decir, toda solución del
primero lo es también del segundo y, recíprocamente, cada solución del
segundo es también solución del primero.
Conviene destacar que
dos sistemas de ecuaciones equivalentes no tienen que tener el mismo
número de ecuaciones, aunque si es necesario que tengan el mismo número
de incógnitas.
Criterio 1: Si
se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema
por un número real distinto de cero, se obtiene otro sistema equivalente
al inicial.
Ejemplo: Los siguientes
sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul) al
segundo (rojo), multiplicamos la primera ecuación por 3, la segunda
ecuación por 2 y la tercera por -1.
Criterio 2: Si
a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo,
se obtiene otro sistema equivalente al inicial.
Ejemplo: Los siguientes
sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul) al
segundo (rojo), a la segunda ecuación le restamos la primera.
Criterio 3 (fusión de los anteriores):
Si a una ecuación de un sistema se le suma o
resta otra
ecuación del mismo, multiplicada por un número real distinto de cero, se
obtiene otro sistema equivalente al dado.
Ejemplo: Los siguientes
sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul) al
segundo (rojo), a la segunda ecuación le restamos la primera
multiplicada por 3 y a la tercera ecuación le restamos la
primera multiplicada por 2.
Criterio 4: Si en un
sistema de ecuaciones lineales una ecuación es proporcional a otra o es
combinación lineal de otras, se puede suprimir y el sistema obtenido es
equivalente al inicial.
Por lo tanto, antes de discutir o resolver
un sistema de ecuaciones lineales, es conveniente suprimir las
ecuaciones superfluas que se puedan identificar fácilmente, como, por
ejemplo:
-
Las ecuaciones proporcionales
-
Las ecuaciones nulas
-
Las ecuaciones que sean combinación lineal de otras.
Ejemplo: Los siguientes
sistemas son equivalentes pues se suprimió la tercera ecuación, que era
proporcional a la primera (la tercera ecuación es igual a la primera
ecuación multiplicada por 3).
Ejemplo: Los siguientes
sistemas son equivalentes pues se suprimió la segunda ecuación, ya que
todos los coeficientes y el término independiente de la misma son nulos.
Ejemplo: Los siguientes
sistemas son equivalentes pues se suprimió la cuarta ecuación, que era
la suma de las ecuaciones primera y segunda.
Es obvio,
además, que si en un
sistema de ecuaciones lineales cambiamos el orden de las ecuaciones, el
sistema obtenido es igual al anterior. El sistema tampoco cambia si en
todas las ecuaciones del mismo, permutamos el orden de las incógnitas.
Ejemplo: Los siguientes
sistemas son iguales, pues sólo permutó el orden de la ecuaciones
primera y tercera.
Ejemplo: Los siguientes
sistemas son iguales, pues sólo permutó, en todas las ecuaciones, el
orden de las incógnitas x e y.
La aplicación de estos
criterios de
equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales, facilitará la obtención
de otro sistema equivalente al inicial, que sea
más sencillo de
resolver.
| ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon. |
| (2015). Sistemas de ecuaciones equivalentes.En: rsostic… Consultado elSábado, 14 de noviembre de 2015 Se encuentra en: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_de_ecuaciones_lineales_2bcnt/equivalencia_de_sistemas_de_ecuaciones_lineales.htm |
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