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Operaciones elementales sobre renglones.
Operaciones elementales sobre renglones. |
1. La matriz de coeficientes:
2. La matriz de inc贸gnitas:
3. La matriz de t茅rminos independientes:
Entonces, el sistema es equivalente a la ecuaci贸n matricial:
Donde el producto indicado es el producto de matrices.
OPERACIONES ELEMENTALES CON MATRICES
Para una matriz A se definen tres operaciones elementales por renglones (o columnas), nos remitiremos a las operaciones por renglones. Cuando se efect煤an las operaciones elementales se obtiene una matriz equivalente y se utiliza el s铆mbolo de equivalencia.I . Intercambiar dos renglones
Ejemplo: si intercambiamos el rengl贸n 1 y 3:
II . Multiplicar un rengl贸n por una constante distinta de cero
Ejemplo: si multiplicamos el rengl贸n 3 por 2:
III. Sumar un rengl贸n a otro rengl贸n
Ejemplo: si sumamos el rengl贸n 3 al rengl贸n 2:
Las operaciones II y III se combinan para sumar un m煤ltiplo de un rengl贸n a otro.
Ejemplo
(I) Comenzamos con la matriz:
(II) Multiplicamos el rengl贸n 1 por 2:
(III) Sumamos el rengl贸n 1 al rengl贸n 2:
(IV) Finalmente multiplicamos por
el rengl贸n 1 (lo cual anula el paso (II) ):
Ahorrando pasos podemos escribir simplemente:
Cabe mencionar que las operaciones elementales se utilizan para «generar ceros» en lugares especiales de la matriz.
1. Usando operaciones elementales, escalonar la siguiente matriz:
Soluci贸n. Lo primero que necesitamos es convertir en 0 el n煤mero 12 que se encuentra en la segunda fila y primer columna, para ello multiplicamos toda la primera fila por -2 y sumamos el resultado al miembro de la segunda fila.
6 x (-2) = -12 + 12 = 0
-2 x (-2) = 4 + (-8) = -4
2 x (-2) = -4 + 6 = 2
4 x (-2) = -8 + 10 = 2
Como puedes observar ya convertimos el primer cero, ahora
necesitamos convertir el siguiente cero de la misma primera columna.
Para ello multiplicamos la primera columna por (-1/2) y sumamos el resultado a la tercera fila:
6 x (-1/2) = -3 + 3 = 0
-2 x (-1/2) = 1 + (-13) = -12
2 x (-1/2) = -1 + 9 = 8
4 x (-1/2) = -2 + 3 = 1
Hemos convertido el segundo cero debajo del pivote, ahora
necesitamos convertir el 煤ltimo cero de la misma primera columna. Para
ello multiplicamos la primera columna por (1) y sumamos el resultado a la cuarta fila:
6 x (1) = 6 + (-6) = 0
-2 x (1) = -2 + 4 = 2
2 x (1) = 2 + 1 = 3
4 x (1) = 4 + (-8) = -4
Ahora tomamos como pivote el -4 que es el segundo t茅rmino de la
segunda fila. A partir de ah铆 debemos convertir en ceros todos los que
se encuentren debajo de 茅l. Resumimos todos los c谩lculos en las
siguientes matrices:
Soluci贸n. Lo primero que necesitamos es convertir en 0 el n煤mero 12 que se encuentra en la segunda fila y primer columna, para ello multiplicamos toda la primera fila por -2 y sumamos el resultado al miembro de la segunda fila.
6 x (-2) = -12 + 12 = 0
-2 x (-2) = 4 + (-8) = -4
2 x (-2) = -4 + 6 = 2
4 x (-2) = -8 + 10 = 2
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6 x (-1/2) = -3 + 3 = 0
-2 x (-1/2) = 1 + (-13) = -12
2 x (-1/2) = -1 + 9 = 8
4 x (-1/2) = -2 + 3 = 1
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6 x (1) = 6 + (-6) = 0
-2 x (1) = -2 + 4 = 2
2 x (1) = 2 + 1 = 3
4 x (1) = 4 + (-8) = -4
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| ARYA, J. C. (2009). Matem谩ticas aplicadas a la administraci贸n. M茅xico: Pearson Educac铆on. |
| (2015). Operaciones elementales sobre renglones.En: ca.uaem… Consultado elS谩bado, 14 de noviembre de 2015 Se encuentra en: http://seduca.uaemex.mx/material/LIA/MN/Cnt14.php |
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