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Propiedades de la integral definida.
Propiedades de la integral definida. |
Se enuncian algunas propiedades y
teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a
evaluarlas con más facilidad.
1)
donde
c es una constante
donde
c es una constante
2)
Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante,
entonces las siguientes propiedades son verdaderas:
(se pueden generalizar para más
de dos funciones)
3) Si
x está definida para x = a entonces 
=
0
=
0
4) Si f es integrable en [a, b]
entonces 
5) Propiedad
de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos
cerrados definidos por a, b y c entonces  |
 |
| INTENTE DEMOSTRAR LAS PROPIEDADES ENUNCIADAS |
CONSERVACIÓN
DE DESIGUALDADES
*
Si f es integrable y no negativa en el intervalo cerrado [a, b]
entonces 
Demostración: Si f(x)
³ 0 entonces 
representa
el área bajo la curva de f de modo que la interpretación
geométrica de esta propiedad es sencillamente el área.
(También se deduce directamente de la definición porque
todas las cantidades son positivas).
representa
el área bajo la curva de f de modo que la interpretación
geométrica de esta propiedad es sencillamente el área.
(También se deduce directamente de la definición porque
todas las cantidades son positivas).
*
Si f y g son integrables en el intervalo cerrado [a, b]
con f(x) ³ g(x) para todo x en [a, b]
entonces 
Demostración: Si f(x)
³ g(x) podemos asegurar que f(x)
- g(x)
³ 0 y le podemos aplicar la propiedad
anterior y por lo tanto 
.
De aquí 
-
³
0 y de esta manera 
.
.
De aquí -³
0 y de esta manera .
Supongamos que m y M son constantes
tales que m £ f(x) £
M para a £ x £
b. Se dice que f está acotada arriba por M y acotada abajo por m,
la gráfica queda entre la recta y = m y la
recta y = M. Podemos enunciar el siguiente teorema:
*
Si f es integrable y m £
f(x) £ M para a
£ x £ b
entonces m (b
-
a) £ 
£
M (b -
a).
£
M (b -
a).
(La gráfica ilustra
la propiedad cuando f(x) ³ 0)
Si y =
f(x) es continua y m y M son los valores mínimos y máximos
de la misma en el intervalo [a, b] gráficamente esta propiedad
indica que el área debajo de la gráfica de f es mayor que el
área del rectángulo con altura m y menor que la del rectángulo
con altura M.
En general dado que m
£ f(x) £
M podemos asegurar, por la propiedad anterior que
.
Si se evalúan las integrales de
los extremos de la desigualdad resulta m (b -
a) £ 
£
M (b -
a).
£
M (b -
a).
SIMETRÍA
El siguiente teorema permite
simplificar el cálculo de integrales de funciones que poseen
propiedades de simetría.
Sea
f una función continua sobre el intervalo [–a, a]
a) Si f es par
.
.
b) Si f es impar
.
.
Demostración: tenemos
en cuenta que a 
la podemos descomponer en dos nuevas integrales
la podemos descomponer en dos nuevas integrales 
=
+
=
+
En la primera integral sustituimos u
= –x
Þ du =
–dx, además si x =
–a Þ u =
a.
=
con
esto la ecuación original resulta:
=
En el caso a) si la función
es par f(–u) =
f(u) entonces
=
=
Mientras que en el caso b)
si la función es impar f(–u) =
– f(u)
=
=
0.
Ejemplo:
Sabiendo que 
,
calcule las siguientes integrales.
,
calcule las siguientes integrales.
a) 
b)
c)
d)
b)
c)
d)
Utilizando propiedades de las
integrales resulta:
a) Como x2
es una función par: 
=
=
=
=
b) Como x2
es una función par: 
=
+
= 2 
=
=
+
= 2
=
c)
=
3
=
8
=
3
=
8
d)
=
- 
=
-
=
-
=
-
ÁREA
DE REGIÓN ENTRE DOS CURVAS
Si f y g son dos funciones continuas en [a, b] y
g(x) £ f(x) "
x Î [a, b], entonces el área de
la región limitada por las gráficas de f y g y las rectas
verticales x =
a y x =
b es 
Demostración:
Subdividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos cada uno de ancho
D x y dibujamos un rectángulo
representativo de alto f(xi)
-
g(xi)
donde x está en el i-ésimo intervalo.
Área del rectángulo i
= [f(xi)
-
g(xi)]
D x
Sumando las áreas y considerando
que el número de rectángulos tiende a infinito resulta que
el área total es
Como f y g son continuas en el
intervalo, la función diferencia f -
g también los es y el límite existe.
Por lo tanto el área es área
=
=
=
E s
importante darse cuenta que la validez de la fórmula del área
depende sólo de que f y g sean continuas y de que g(x)
£ f(x). Las gráficas de f y g
pueden estar situadas de cualquier manera respecto del eje x.
 |
 |
Integración
respecto al eje y
Si
algunas regiones están acotadas por curvas que son funciones de y o
bien se pueden trabajar mejor considerando x como función de y los
rectángulos representativos para la aproximación se
consideran horizontales en lugar de verticales. De esta manera, si una
región está limitada por las curvas de ecuaciones x =
f(y), x =
g(y), y =
c y la recta horizontal y =
d, donde f y g son continuas y f(y) ³
g(y) para c £ y £
d, entonces su área resulta 
.
.
Área =
A =
(en la variable x, se consideran rectángulos verticales)
(en la variable x, se consideran rectángulos verticales)
donde a y b son las abscisas de
dos puntos de intersección adyacentes de las dos curvas o
puntos de las rectas fronteras que se especifiquen.
Área =
A =
(en la variable y, se consideran rectángulos horizontales)
(en la variable y, se consideran rectángulos horizontales)
donde c y d son las ordenadas de
dos puntos de intersección adyacentes de las dos curvas o
puntos de las rectas fronteras que se especifiquen.
| ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon. |
| (2015). Propiedades de la integral definida. En: fca.unl… Consultado elSábado, 14 de noviembre de 2015 Se encuentra en: http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm |
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