Operaciones con matrices (suma, diferencia, multiplicación por escalar y producto de matrices).

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 Operaciones con matrices (suma, diferencia, multiplicación por escalar y producto de matrices).

 

Entender los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.

Suma y diferencia de matrices
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
Propiedades de la suma de matrices
  1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
  2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
  3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
  4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)


Producto de una matriz por un número El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
Ejemplo
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.
Propiedades del producto de una matriz por un escalar
  1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)
  2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)
  3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)
  4. 1·A = A (elemento unidad)

Propiedades simplificativas
  1. A + C = B + C Û A = B.
  2. k A = k B Û A = B si k es distinto de 0.
  3. k A = h A Û h = k si A es distinto de 0.

Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m´ n y B dimensión n´ p, la matriz P será de orden m´ p. Es decir:
Ejemplos
Propiedades del producto de matrices

  1. A·(B·C) = (A·B)·C
  2. El producto de matrices en general no es conmutativo. (Ejemplo)
  3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.
  4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 .
  5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C
Consecuencias de las propiedades
  1. Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0. (Ejemplo)
  2. Si A·B=A·C no implica que B = C. (Ejemplo)
  3. En general (A+B)2 ¹ A2 + B2 +2AB,ya que A·B ¹ B·A.
  4. En general (A+B)·(A–B) ¹ A2–B2, ya que A·B ¹ B·A.
Matrices inversibles
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.
Porpiedades de la inversión de matrices
  1. La matriz inversa, si existe, es única
  2. A-1A=A·A-1=I
  3. (A·B) -1=B-1A-1
  4. (A-1) -1=A
  5. (kA) -1=(1/k·A-1
  6. (At) –1=(A-1) t
Observación
Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A¹ I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".
Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:
  • Directamente (Ejemplo)
  • Usando determinantes
  • Por el método de Gauss-Jordan
Cálculo de la matriz inversa usando determinantes
Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).
Ejemplo
Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:


Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.

Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangularización superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangularización inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.




Aplicando el método de Gauss-Jordan a la mtriz

  • En primer lugar triangularizamos inferiormente:


  • Una vez que hemos triangularizado superiormente lo hacemos inferiormente:


  • Por último, habrá que convertir la matriz diagonal en la matriz identidad:


De donde, la matriz inversa de A es

Rango de una matriz
Se llama menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).
En una matriz cualquiera Am×n puede haber varios menores de un cierto orden p dado.

Definición
El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero.
El rango o característica de una matriz A se representa por rg(A). Consecuencia
Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.




Determinantes Dada una matriz cuadrada
se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:
Definición de determinante
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i(s) es la signatura de la permutación)
También se suele escribir:







Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3
Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:


En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:




DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz A(n,n), es un escalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denotado como |A|. El valor numérico es conocido también como modulo de la matriz. (Nota: En matrices de segundo y tercer orden suele ser utilizado el método conocido como regla de Sarrus.)
A continuación vamos a ver una de las formas de obtener el determinante (método cofactores).
Algoritmo:

siendo n igual al nú:mero de columnas, y Aij es el resultado de eliminar la fila i y la columna j de la matriz original. Ejemplo de un determinante de segundo orden:

Operando el algoritmo anterior, y teniendo en cuenta que i es siempre 1, obtendremos : paso 1: a11=1. al eliminar la fila 1 y columna 1 de la la matriz obtenemos |4|, mientras en la suma i+j=2.
paso 2: a12=3 mientras la eliminación de la fila 1 y columna 2 da como resultado |6| y la suma i+j=3.
es decir ...

Si la matriz fuese del tipo:

el determinante es de tercer orden, siendo desarrollo en un primer momento:

después de lo cual resolveríamos el siguiente nivel, resultando ...

y por tanto ... |A| = 1(5)-(-3)(-20)+(-2)(16) = -87









ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon.

(2015). Operaciones con matrices (suma, diferencia, multiplicación por escalar y producto de matrices).En: es.goog… Consultado elSábado, 14 de noviembre de 2015 Se encuentra en: https://sites.google.com/site/algebralinial/unidad-2/suma-y-resta-de-matrices

denisse

Some say he’s half man half fish, others say he’s more of a seventy/thirty split. Either way he’s a fishy bastard. Google

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