Matriz inversa.

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Matriz inversa.

Entender los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.

Matriz de dos filas (Matriz Adjunta)

Dada una matriz de 2x2 con determinante no nulo:

$\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix}$

Está definida siempre y cuando

ad-bc \ne 0

. Así por ejemplo la inversa de la matriz

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix},$ ya que $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Dada una matriz de 3x3 con determinante no nulo:

\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i\\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix} \, A & \, B & \,C \\ \, D & \, E & \, F \\ \, G & \, H & \, I\\ \end{bmatrix}^T = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix} \, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, I\\ \end{bmatrix}

\begin{matrix} A = (ei-fh) & D = -(bi-ch) & G = (bf-ce) \\ B = -(di-fg) & E = (ai-cg) & H = -(af-cd) \\ C = (dh-eg) & F = -(ah-bg) & I = (ae-bd) \\ \end{matrix}

Propiedades de la matriz inversa

La inversa de una matriz, si existe, es única.
La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

\left (A \cdot B \right ) ^{-1} = {B}^{-1} \cdot {A}^{-1}

Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

\left(A^{T}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{T}

Y, evidentemente:

\left(A^{-1}\right)^{-1} = A

Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

{A^{-1}} = {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \operatorname{adj} (A) \

donde

{ {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}}

es el determinante de A y

\operatorname{adj}{(A)} \

es la matriz de adjuntos de A.

Demostración de la unicidad de la inversa

Supongamos que B y C son inversas de A

AB=BA=I

AC=CA=I

Multiplicando por C

(BA)C=IC=C

(BA)C=B(AC)=BI=B

De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.

Demostración del criterio de inversibilidad de las matrices cuadradas

Se probará la doble implicación.

Suficiencia $(\Rightarrow)$

Suponiendo que existe

B

tal que

AB = BA = I

. Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

\det\left(AB\right)=\det\left(BA\right)=\det\left(I\right)

usando la propiedad

\det(I) = 1

\det\left(A\right)\det\left(B\right)=1

Por lo tanto,

\det(A)

es distinto de cero.

\det\left(A\right)\neq0

Necesidad $(\Leftarrow)$

Suponiendo que el determinante de

A

es distinto de cero, sea

a_{ij}

es el elemento ij de la matriz

A

y sea

A_{ij}

la matriz

A

sin la fila

i

y la columna

j

(comúnmente conocida como

j

-ésimo menor de A). Entonces

\det(A)= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij})

Sea

k\neq j

, entonces

\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0

Esta afirmación es válida por propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación es el determinante de la matriz

A

con la columna

j

igual a la columna

k

y los demás términos iguales a los de

A

. Entonces

\delta_{jk}\det\left(A\right)= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}\det\left(A_{ij}\right)a_{ik}

donde

\delta_{jk} = 1

cuando

j=k

\delta_{jk} = 0

cuando

j\neq k

. Entonces

\det\left(A\right)I = \left(\mbox{adj}(A)\right)A

Es decir que

A

tiene inversa izquierda

\frac{\left(\text{adj}(A)\right)^T}{\det\left(A\right)}

Como

\left(\text{adj}(A)\right)^T = \text{adj}\left(A^T\right)

, entonces

A^T

también tiene inversa izquierda que es

\frac{\left(\text{adj}(A^T)\right)^T}{\det\left(A^T\right)}= \frac{\text{adj}(A)}{\det\left(A\right)}

Entonces

\frac{\text{adj}(A)}{\det\left(A\right)}A^T=I

luego, aplicando la transpuesta

A\frac{\left(\text{adj}(A)\right)^T}{\det\left(A\right)}=I

Que es lo que se quería demostrar

Métodos de inversión de matrices

Solución analítica

Inversión de matrices 2×2

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:¹

\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix}

Esto es posible siempre y cuando ad - bc, el determinante de la matriz, no sea cero.

Ejemplo numérico:

C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} , \ C^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac1{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{bmatrix}

Inversión de matrices de órdenes superiores

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

{A^{-1}} = {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \ \operatorname{adj} (A)^T \

Donde

{ {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}}

es el determinante de A y

\ \operatorname{adj}{(A)} \

es la matriz de adjuntos de A.
Cuando la matriz tiene más de tres filas, está fórmula es muy ineficiente y conduce a largos cálculos. Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes.

Métodos numéricos

El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir. Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.