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Regla de Cramer.
Regla de Cramer..
Entender los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.
Un sistema de
ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema
de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:
-
El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
-
El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es distinto de cero ( det ( A ) # 0 )
Un
sistema de Cramer es, por definición,
compatible determinado, puesto que
se cumple que rango (A) = rango (A*) = n
(nº de incógnitas).
Consideremos un sistema
de Cramer, es decir, un sistema de
n
ecuaciones lineales con n
incógnitas, cuya expresión
general es la siguiente:
Sean A
la matriz del sistema (matriz de los
coeficientes), entonces det (A) # 0.
Llamaremos matriz asociada a la incógnita
xi y la
designaremos por
Ai a la matriz que
se obtiene al sustituir en la matriz del sistema la columna
i por la matriz columna de los
términos independientes. Es decir:
Todos los sistemas de Cramer son compatibles determinados. El valor de
cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante de la matriz
asociada a dicha incógnita por la matriz del sistema (matriz de los
coeficientes de las incógnitas).
¿Se
puede aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones
lineales compatibles que tengan más ecuaciones que incógnitas?
La respuesta es
afirmativa. Basta con obtener un
sistema equivalente al inicial eliminando las ecuaciones superfluas o
dependientes (proporcionales, nulas o que sean combinación lineal de
otras). El procedimiento a seguir es el siguiente: Supongamos que
tenemos un sistema de m ecuaciones
lineales con n
incógnitas, siendo m > n
y tal que: rango (A) = rango (A*) = n.
Por lo tanto, sobran m - n
ecuaciones. Para averiguar cuáles son las ecuaciones de las
que podemos prescindir, basta encontrar en la
matriz de los coeficientes ( A
) un menor de orden n
distinto de cero, por ejemplo, el que utilizamos para averiguar el rango
de la matriz A. Las filas que
intervienen en este menor son las que corresponden a las ecuaciones
principales. Las restantes ecuaciones las podemos suprimir.
El siguiente botón abre
una ventana que explica, mediante un ejemplo, el procedimiento a seguir.
Un
sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado. Pero, ¿Se
puede aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones
lineales compatibles indeterminados?
La respuesta es también
afirmativa. El procedimiento a
seguir es el siguiente: Supongamos que tenemos un sistema de
m ecuaciones lineales con n
incógnitas, tal que: rango (A)
= rango (A*) = k < n. Por lo tanto, sobran
m - k ecuaciones y, además, hay
n - k incógnitas no principales.
Para averiguar cuáles son las ecuaciones de las que podemos prescindir,
y cuáles son las incógnitas no principales, basta encontrar en la
matriz de los coeficientes (
A ) un menor de orden
k distinto de cero, por ejemplo,
el que utilizamos para averiguar el rango de la matriz
A. Las filas que intervienen en este
menor son las que corresponden a las ecuaciones principales
o independientes. Las
restantes ecuaciones las podemos suprimir. Las columnas que figuran en
dicho menor corresponden a las incógnitas principales. Las incógnitas
no
principales las pasamos al otro miembro y pasan a formar un único
término junto con el término independiente. Se obtiene, de este modo, un
sistema de
k ecuaciones lineales con
k incógnitas, cuyas soluciones
van a depender de n - k parámetros
(correspondientes a las incógnitas no principales).
El siguiente botón abre
una ventana que explica, mediante un ejemplo, el procedimiento a seguir.
La siguiente escena
resuelve cualquier sistema de ecuaciones lineales
compatible (determinado o
indeterminado), utilizando la Regla de Cramer.
El número máximo de ecuaciones y de incógnitas que puede tener el
sistema es 5.
| ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon. |
| (2015). Regla de Cramer.En: rsostic… Consultado elSábado, 14 de noviembre de 2015 Se encuentra en: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_de_ecuaciones_lineales_2bcnt/regla_de_cramer.htm |
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