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Expansión por cofactores.
Expansión por cofactores.Entender los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.
Sea A una matriz cuadrada de orden n .Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente Ai,j.Por ejemplo, con n = 4, i = 3 y j = 2:
El determinante de esta submatriz se llama la menor relativa a la casilla (i, j): M i, j = det( A i, j ) .
En el ejemplo, M3,2 = 34
En el ejemplo, M3,2 = 34
El
cofactor de ai,j, es decir el cofactor relativo a la casilla (i, j) de
la matriz A =( ai,j ), es la menor multiplicada por el signo (-1) i + j.
Se le nota c i, j = (-1) i + j · Mi,j o ai,j con una tilde encima.
En el ejemplo, c 3, 2 = (-1)5 × 34 = -34.
La
matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota com A
o A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A, cuando existe, gracias a la relación:A·tcom A =tcom A · A = det A· In, donde In es la matriz identidad de orden n.
Matriz inversa
Definición
La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz, A-1, de orden N que verifica:
donde I es la matriz identidad de orden n. .
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:
Cálculo de la matriz inversa
Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:
hacemos
como:
Operando:
Método de Gauss-Jordan
La inversa de una matriz regular A se calcular transformando la matriz (AlI) mediante operaciones elementales por filas en la matriz (ILA-1)
La inversa de una matriz regular A se calcular transformando la matriz (AlI) mediante operaciones elementales por filas en la matriz (ILA-1)
Operaciones elementales por filas en una matriz
Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
1. Intercambiar las filas i y j que designaremos por Fi=Fj
2. Multiplicar la fila i por el numero k=0 y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi=k.Fi
3. Sumar la fila i con la fila j y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi=Fi+Fj
4. Sumar las filas i y j , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila i o j . Lo designamos por Ft o Fj=k.Fi+.Fjk
Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
1. Intercambiar las filas i y j que designaremos por Fi=Fj
2. Multiplicar la fila i por el numero k=0 y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi=k.Fi
3. Sumar la fila i con la fila j y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi=Fi+Fj
4. Sumar las filas i y j , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila i o j . Lo designamos por Ft o Fj=k.Fi+.Fjk
Definiciones básicas
Una
matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m
reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas
son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A.
Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama aij o Aij.
Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama aij o Aij.
Operaciones con matrices
Trasposición
La
matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene
cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A
una matiz m×n y B = AT, entonces B es la matriz n×m con bij = aji.
Suma, Resta
Sea
A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se
obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij +
Bij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas
correspondientes. En símbolos, (A-B)ij = Aij - Bij.
Producto escalar Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el producto escalar por la matriz, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij).
Producto Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados.
Producto escalar Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el producto escalar por la matriz, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij).
Producto Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados.
Álgebra de matrices
La
matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas
las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1.
En símbolos:
Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.
Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.
Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.
Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:
La
única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del
producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo:
AB no es igual a BA en general.
Forma matriz de un sistema de ecuaciones lineales
Una aplicación importante de multiplicación entre matrices es la siguiente: El sistema de ecuaciones lineales
se puede escribir como la ecuación matriz
AX = B
donde
AX = B
donde
X = [x1, x2, x3, . . . , xn]T
y
B = [b1, b2, x3, . . . , bm]T
y
B = [b1, b2, x3, . . . , bm]T
Matriz inversa
Sea
A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es
igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en
una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz
cuadrada A puede tener una inversa, que se escribe como A-1, con la
propiedad
AA-1 = A-1A = I.
Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular.
En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación
AX = B
multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por A-1, que nos da
X = A-1B.
AA-1 = A-1A = I.
Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular.
En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación
AX = B
multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por A-1, que nos da
X = A-1B.
Determinar si una matriz es invertible
Para
determinar si una matriz n×n A es invertible o no, y encontrar A 1 si
existe, escriba la matriz n×(2n) [A I] (esta es A con la matriz unidad
n×n a su lado).
Reduzca esta matriz hasta a la forma escalonada reducida.
Si la forma reducida es [I B] (es decir, tiene la matriz unidad en la parte izquierda), entonces A es invertible y B = A-1. Si no puedes obtener I en la parte izquierda, entonces A es singular.
Reduzca esta matriz hasta a la forma escalonada reducida.
Si la forma reducida es [I B] (es decir, tiene la matriz unidad en la parte izquierda), entonces A es invertible y B = A-1. Si no puedes obtener I en la parte izquierda, entonces A es singular.
Inversa de una matriz 2×2
La matriz 2×2
es invertible si ad - bc no es cero y es singular si ad - bc = 0. El
número ad - bc se llama el determinante de la matriz. Cuando la matriz
es invertible su inversa se expresa por la formula 
Aplicación: modelos económicos de insumo-producto
Una
matriz insumo-producto para una economía da, en su ja columna, las
cantidades (en dólares o otra moneda apropiada) del productos de cada
sector usado como insumo por sector j (en un año o otra apropiada unidad
de tiempo). Da también la producción total de cada sector de la
economía durante un año (llamada el vector producción cuando está
escrito como una columna).
La
matriz tecnología es la matriz que se obtiene dividiendo cada columna
por la producción total del sector correspondiente. Su ija entrada , el
ijo coeficiente tecnología, da el insumo de sector i para producir una
unidad de producto del sector j. Un vector demanda es un vector columna
que expresa la demanda total desde fuera la economía de los productos de
cada sector. Sea A la matriz tecnología, X el vector producción, y D el
vector demanda, entonces
(I - A)X = D,
o
X = (I - A)-1D. Estas mismas ecuaciones son válidas si D es un vector que representa cambio de demanda, y X es un vector que representa cambio de producción. Las entradas en una columna de (I - A)-1 representan el cambio en producción de cada sector necesario para satisfacer una unidad de cambio de demanda en el sector que corresponde a aquella columna, tomando en cuenta todos los efectos directos y indirectos.
(I - A)X = D,
o
X = (I - A)-1D. Estas mismas ecuaciones son válidas si D es un vector que representa cambio de demanda, y X es un vector que representa cambio de producción. Las entradas en una columna de (I - A)-1 representan el cambio en producción de cada sector necesario para satisfacer una unidad de cambio de demanda en el sector que corresponde a aquella columna, tomando en cuenta todos los efectos directos y indirectos.
| ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon. |
| (2015). Expansión por cofactores.En: nolinea… Consultado elSábado, 14 de noviembre de 2015 Se encuentra en: http://marinolineal.blogspot.mx/2009/06/matriz-de-cofactores.html |
El formato hace llamativa indagar en este blog, y se encuentra con demasiada informacion bien explicada y de gran utilidad para la presentacion de problemas cotidianos.
ResponderBorrarBue trabajo.
Muy buen blog, los ejemplos que vienen en la información son muy prácticos
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ResponderBorrarBuen blog, la información que proporcionas es muy buena, y los ejemplos son de mucha ayuda para aprender mejor del tema.
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ResponderBorrarMe encanto todo tu trabajo.
ResponderBorrarAdemás en cuanto entre a visitar tu página me llamo la atención checar cada uno de los temas.
Todo esta muy organizado y entendible.
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ResponderBorrarDenisse.
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Felicidades por tu Blog Denisse te quedo muy bien.
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ResponderBorrarExcelente trabajo me encanto tu blog tiene información muy buena y fácil de comprender así como muy accesible a los temas brindados.
ResponderBorrarQue buen blog Denisse de vdd te felicito porque se noto en la informacion que pusiste la dedicacion de tu blog, la informacion felicidades es una de las mejores que e visto te felicito por la presentacion y por los videos me ayudaron a comprender muchisimo el tema,
ResponderBorrarMe encanto tu blog !
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ResponderBorrarDenisse que buen blog felicidades tu informacion es muy buena nos ayudara mucho para apoyarnos y tus videos muy claros y entendible .....
ResponderBorrarMuchas felicidades por tu blog.
ResponderBorrarLo eh encontrado muy interesante y me ha aportado bastante ayuda para aclarar procedimientos y temas que creí serían más complicados.
Muy bien tu trabajo Dennis pusiste muchos ejemplos el cual nos ayuda a entender mejor los temas.
ResponderBorrarMuy buen blog, la información es precisa, el color de fondo es muy llamativo como para atraer a las personas a que indaguen información en él.
ResponderBorrarBuen trabajo
Muy buen blog, esta muy interesante, la informacion es muy presisa
ResponderBorrarexcelente denisse, muy buen blog
ResponderBorrartu informacion es muy buena