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Operaciones elementales sobre renglones.
Operaciones elementales sobre renglones. |
1. La matriz de coeficientes:
2. La matriz de incógnitas:
3. La matriz de términos independientes:
Entonces, el sistema es equivalente a la ecuación matricial:
Donde el producto indicado es el producto de matrices.
OPERACIONES ELEMENTALES CON MATRICES
Para una matriz A se definen tres operaciones elementales por renglones (o columnas), nos remitiremos a las operaciones por renglones. Cuando se efectúan las operaciones elementales se obtiene una matriz equivalente y se utiliza el símbolo de equivalencia.I . Intercambiar dos renglones
Ejemplo: si intercambiamos el renglón 1 y 3:
II . Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero
Ejemplo: si multiplicamos el renglón 3 por 2:
III. Sumar un renglón a otro renglón
Ejemplo: si sumamos el renglón 3 al renglón 2:
Las operaciones II y III se combinan para sumar un múltiplo de un renglón a otro.
Ejemplo
(I) Comenzamos con la matriz:
(II) Multiplicamos el renglón 1 por 2:
(III) Sumamos el renglón 1 al renglón 2:
(IV) Finalmente multiplicamos por
el renglón 1 (lo cual anula el paso (II) ):
Ahorrando pasos podemos escribir simplemente:
Cabe mencionar que las operaciones elementales se utilizan para «generar ceros» en lugares especiales de la matriz.
1. Usando operaciones elementales, escalonar la siguiente matriz:
Solución. Lo primero que necesitamos es convertir en 0 el número 12 que se encuentra en la segunda fila y primer columna, para ello multiplicamos toda la primera fila por -2 y sumamos el resultado al miembro de la segunda fila.
6 x (-2) = -12 + 12 = 0
-2 x (-2) = 4 + (-8) = -4
2 x (-2) = -4 + 6 = 2
4 x (-2) = -8 + 10 = 2
Como puedes observar ya convertimos el primer cero, ahora
necesitamos convertir el siguiente cero de la misma primera columna.
Para ello multiplicamos la primera columna por (-1/2) y sumamos el resultado a la tercera fila:
6 x (-1/2) = -3 + 3 = 0
-2 x (-1/2) = 1 + (-13) = -12
2 x (-1/2) = -1 + 9 = 8
4 x (-1/2) = -2 + 3 = 1
Hemos convertido el segundo cero debajo del pivote, ahora
necesitamos convertir el último cero de la misma primera columna. Para
ello multiplicamos la primera columna por (1) y sumamos el resultado a la cuarta fila:
6 x (1) = 6 + (-6) = 0
-2 x (1) = -2 + 4 = 2
2 x (1) = 2 + 1 = 3
4 x (1) = 4 + (-8) = -4
Ahora tomamos como pivote el -4 que es el segundo término de la
segunda fila. A partir de ahí debemos convertir en ceros todos los que
se encuentren debajo de él. Resumimos todos los cálculos en las
siguientes matrices:
Solución. Lo primero que necesitamos es convertir en 0 el número 12 que se encuentra en la segunda fila y primer columna, para ello multiplicamos toda la primera fila por -2 y sumamos el resultado al miembro de la segunda fila.
6 x (-2) = -12 + 12 = 0
-2 x (-2) = 4 + (-8) = -4
2 x (-2) = -4 + 6 = 2
4 x (-2) = -8 + 10 = 2
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6 x (-1/2) = -3 + 3 = 0
-2 x (-1/2) = 1 + (-13) = -12
2 x (-1/2) = -1 + 9 = 8
4 x (-1/2) = -2 + 3 = 1
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6 x (1) = 6 + (-6) = 0
-2 x (1) = -2 + 4 = 2
2 x (1) = 2 + 1 = 3
4 x (1) = 4 + (-8) = -4
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| ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon. |
| (2015). Operaciones elementales sobre renglones.En: ca.uaem… Consultado elSábado, 14 de noviembre de 2015 Se encuentra en: http://seduca.uaemex.mx/material/LIA/MN/Cnt14.php |
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