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Propiedades de los determinantes.
Propiedades de los determinantes.Entender los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.
Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son
útiles para simplificar su evaluación.
En los párrafos siguientes consideramos que A
es una matriz cuadrada.
Propiedad 1.
Si una matriz A tiene un renglón (o una columna) de ceros,
el determinante de A es cero.
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Ejemplo 1.
Sea 
Desarrollando por cofactores
del primer renglón se tiene
Propiedad 2.
El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta
de A.
|
Esto es
Ejemplo 2.
Sea 
La transpuesta de A
es 
Propiedad 3.
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una
matriz A entonces el
determinante cambia de signo.
|
Ejemplo 3.
Sea 
con 
con
Intercambiando los renglones 1 y 2
la matriz queda
con 
Note que los determinantes se calcularon expandiendo por
cofactores de la primera columna.
Propiedad 4.
Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas)
iguales entonces det A = 0.
|
Ejemplo 4.
Sea 
entonces 
entonces
Propiedad 5.
Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz A
se multiplica por un escalar r el determinante de la matriz
resultante es r veces el determinante de A, r det A.
|
Ejemplo 5.
Sea 
cuyo determinante
se calculó en el ejemplo 2, 
cuyo determinante
se calculó en el ejemplo 2,
Multiplicando el tercer renglón de A por el
escalar r = 3 se tiene la
matriz B siguiente
cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera
columna de B es
Propiedad 6.
Si un renglón de la matriz A se multiplica
por un escalar r y se suma a otro renglón de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A, det A. Lo mismo se cumple para las columnas de A.
|
Ejemplo 6.
Sea 
cuyo determinante
se calculó en el ejemplo 2, 
cuyo determinante
se calculó en el ejemplo 2,
Multiplicando la segunda columna de A por el
escalar 2 y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B
siguiente
Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene
Propiedad 7.
Si A y B
son matrices de
 , el determinante del producto AB es igual al
producto de los determinantes de A y de B. |
Esto es
Ejemplo 7.
Sean 
y 
y
con 
y 
y
El producto 
Y su determinante
es 
Entonces 
.
.
Propiedad 8.
El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)
Ejemplo 8.
I = 
det
I = (1)(1) – (0)(0) = 1
det
I = (1)(1) – (0)(0) = 1
Propiedad 9.
El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero)
Ejemplo 9.
J = 
|J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0
|J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0
Se
puede fácilmente comprobar que la matriz J
no tiene inversa.
Uso de las propiedades para calcular determinantes de
alto orden.
Al utilizar las operaciones elementales sobre renglones, se
puede reducir un determinante a una forma mas fácil de evaluar. Si se reduce a una forma triangular superior
o inferior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal
principal. Al hacerlo hay que tomar en
cuenta las propiedades 3, 5 y
6, como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 10.
Calcular el determinante de la matriz A
de 
Simplificamos el cálculo del determinante de A reduciendo por renglones
Entonces, la permutación P14 cambia el signo de det A , las operaciones
y 
no cambian el valor del determinante.
y no cambian el valor del determinante.
De esta forma
Se podría seguir reduciendo a la forma triangular, pero
observando que hay varios ceros en el tercer renglón resulta fácil desarrollar
por cofactores, primero de la primera columna, y después del tercer renglón:
| ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon. |
| (2015). Propiedades de los determinantes.En: ens.uab… Consultado elSábado, 14 de noviembre de 2015 Se encuentra en: http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/III%20Dets/propiedadesdets.htm |
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