Objetivo General

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Objetivo general

Hacer que nuestros lectores adquirirán destrezas en el manejo de técnicas y

procedimientos para la solución de problemas. Mediante el uso de lenguaje

matemático, de la sistematización de información y de las formas de

representación gráfica y analítica. Manejando los conocimientos, métodos y

algoritmos matemáticos establecidos en los programas, tanto básicos como

auxiliares para abordar los contenidos de otras materias. Elaborando y usando

modelos matemáticos en la resolución de problemas de optimización de recursos

y en el análisis económico de problemas en el ámbito de las empresas.

Objetivo unidad 1

Comprender los conceptos básicos del cálculo diferencial en varias variables, así

como la resolución de problemas en el entorno económico-administrativo,

enfatizando aquellos del área de optimización de recursos.

Objetivo Unidad 2

Entender el concepto de integral y su relación con la derivada. Resolverá

problemas de aplicación dando énfasis a aquellos relacionados con las áreas

económico-administrativas tales como: Economía, Mercadotecnia, Administración,

Turismo, Recursos Humanos, Sistemas de Información y Negocios

Internacionales.

Objetivo unidad 3

Comprender el concepto de integral definida así como su interpretación gráfica.

Resolver problemas de aplicación geométrica al mismo tiempo que resolverá

problemas del entorno económico-administrativo.

Aplicar técnicas adicionales para la resolución de integrales que presentan

estructuras complejas asociadas con modelos y problemas del entorno

económico-administrativo.

Entender los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas

del ámbito económico y de gestión de negocios.

Objetivo unidad 4

Entender los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas

del ámbito económico y de gestión de negocios.

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Regla de Cramer.

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Regla de Cramer..

Entender los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.





Un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:

  • El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
  • El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es distinto de cero ( det ( A ) # 0 )

Un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado, puesto que se cumple que rango (A) = rango (A*) = n (nº de incógnitas).

Consideremos un sistema de Cramer, es decir, un sistema de  n  ecuaciones lineales con  n  incógnitas, cuya expresión general es la siguiente:


Sean  A  la matriz del sistema (matriz de los coeficientes), entonces  det (A) # 0.  Llamaremos matriz asociada a la incógnita  xi  y la designaremos por  Ai  a la matriz que se obtiene al sustituir en la matriz del sistema la columna  i  por la matriz columna de los términos independientes. Es decir:


Todos los sistemas de Cramer son compatibles determinados. El valor de cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante de la matriz asociada a dicha incógnita por la matriz del sistema (matriz de los coeficientes de las incógnitas).  



¿Se puede aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles que tengan más ecuaciones que incógnitas?

La respuesta es afirmativa. Basta con obtener un sistema equivalente al inicial eliminando las ecuaciones superfluas o dependientes (proporcionales, nulas o que sean combinación lineal de otras). El procedimiento a seguir es el siguiente: Supongamos que tenemos un sistema de  m  ecuaciones lineales con  n  incógnitas, siendo  m > n  y tal que:  rango (A) = rango (A*) = n. Por lo tanto, sobran  m - n  ecuaciones. Para averiguar cuáles son las ecuaciones de las que podemos prescindir, basta encontrar en la matriz de los coeficientes ( A ) un menor de orden  n  distinto de cero, por ejemplo, el que utilizamos para averiguar el rango de la matriz  A. Las filas que intervienen en este menor son las que corresponden a las ecuaciones principales. Las restantes ecuaciones las podemos suprimir.

El siguiente botón abre una ventana que explica, mediante un ejemplo, el procedimiento a seguir.


Un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado. Pero, ¿Se puede aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles indeterminados?

La respuesta es también afirmativa. El procedimiento a seguir es el siguiente: Supongamos que tenemos un sistema de  m  ecuaciones lineales con  n  incógnitas, tal que:  rango (A) = rango (A*) = k < n. Por lo tanto, sobran  m - k  ecuaciones y, además, hay  n - k  incógnitas no principales. Para averiguar cuáles son las ecuaciones de las que podemos prescindir, y cuáles son las incógnitas no principales, basta encontrar en la matriz de los coeficientes ( A ) un menor de orden  k  distinto de cero, por ejemplo, el que utilizamos para averiguar el rango de la matriz  A. Las filas que intervienen en este menor son las que corresponden a las ecuaciones principales o independientes. Las restantes ecuaciones las podemos suprimir. Las columnas que figuran en dicho menor corresponden a las incógnitas principales. Las incógnitas no principales las pasamos al otro miembro y pasan a formar un único término junto con el término independiente. Se obtiene, de este modo, un sistema de  k  ecuaciones lineales con  k  incógnitas, cuyas soluciones van a depender de  n - k  parámetros (correspondientes a las incógnitas no principales).

El siguiente botón abre una ventana que explica, mediante un ejemplo, el procedimiento a seguir.


La siguiente escena resuelve cualquier sistema de ecuaciones lineales compatible (determinado o indeterminado), utilizando la Regla de Cramer. El número máximo de ecuaciones y de incógnitas que puede tener el sistema es  5.











ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon.


(2015). Regla de Cramer.En: rsostic… Consultado elSábado, 14 de noviembre de 2015 Se encuentra en: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_de_ecuaciones_lineales_2bcnt/regla_de_cramer.htm

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Propiedades de los determinantes.

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Propiedades de los determinantes.

Entender los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.




Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.

En los párrafos siguientes consideramos que  A  es una matriz cuadrada.



Propiedad 1.




Si una matriz  A  tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.






Ejemplo 1.



            Sea 



Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene



                     



Propiedad 2.




El determinante de una matriz  A   es  igual al determinante de la transpuesta de  A.




 Esto es

                                                



Ejemplo 2.



                      Sea       



La transpuesta de A  es          





Propiedad 3.




Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz  A entonces el determinante cambia de signo.




Ejemplo 3.



Sea            con      



Intercambiando los renglones  1  y  2   la matriz queda



           con     



Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.



Propiedad 4.




Si una matriz  A  tiene dos renglones (o dos columnas) iguales  entonces   det A = 0.           






Ejemplo 4.



Sea           entonces 





Propiedad 5.




Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz  A  se multiplica por un escalar  r  el determinante de  la matriz  resultante es  r  veces el determinante de  A,   r det A.






Ejemplo 5.



Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2, 



Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar  r = 3 se tiene la matriz  B siguiente



                                                



cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es     



      



Propiedad 6.




Si un renglón de la matriz  A  se multiplica por un escalar  r   y se suma a otro renglón  de A,  entonces el determinante de la matriz resultante es igual  al determinante de A,  det A.   Lo mismo se cumple para las columnas de A.






Ejemplo 6.



Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2, 



Multiplicando la segunda columna de A por el escalar  2  y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente

  

                     



Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene



       





Propiedad 7.




Si  A  y  B  son matrices de , el determinante del producto AB es igual al producto de los determinantes de A y de B.




Esto es

                                              



Ejemplo 7.



Sean           y           



con       y     



 El producto     



Y su determinante  es    



Entonces     .



Propiedad 8.




El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)




Ejemplo 8.



I =                   det I = (1)(1) – (0)(0) = 1



Propiedad  9.




El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero)




Ejemplo 9.

J =           |J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0



Se puede fácilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa.





Uso de las propiedades para calcular determinantes de alto orden.



Al utilizar las operaciones elementales sobre renglones, se puede reducir un determinante a una forma mas fácil de evaluar.  Si se reduce a una forma triangular superior o inferior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.  Al hacerlo hay que tomar en cuenta las propiedades 3,  5  y  6,  como en el siguiente ejemplo.



Ejemplo 10.



Calcular el determinante de la matriz  A  de 



                 



Simplificamos el cálculo del determinante de A  reduciendo por renglones



      



Entonces, la permutación P14  cambia el signo de  det A , las operaciones    y      no  cambian el valor del determinante.

De esta forma

                         



Se podría seguir reduciendo a la forma triangular, pero observando que hay varios ceros en el tercer renglón resulta fácil desarrollar por cofactores, primero de la primera columna, y después del tercer renglón:

                   

                                                                       
 














ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon.


(2015). Propiedades de los determinantes.En: ens.uab… Consultado elSábado, 14 de noviembre de 2015 Se encuentra en: http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/III%20Dets/propiedadesdets.htm

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Expansión por cofactores.

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Expansión por cofactores.

Entender los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.
 

Sea A una matriz cuadrada de orden n .Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente Ai,j.Por ejemplo, con n = 4, i = 3 y j = 2:






El determinante de esta submatriz se llama la menor relativa a la casilla (i, j): M i, j = det( A i, j ) .
En el ejemplo, M3,2 = 34


El cofactor de ai,j, es decir el cofactor relativo a la casilla (i, j) de la matriz A =( ai,j ), es la menor multiplicada por el signo (-1) i + j. Se le nota c i, j = (-1) i + j · Mi,j o ai,j con una tilde encima.


En el ejemplo, c 3, 2 = (-1)5 × 34 = -34.


La matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota com A o A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A, cuando existe, gracias a la relación:A·tcom A =tcom A · A = det A· In, donde In es la matriz identidad de orden n.


Matriz inversa

Definición

La matriz inversa de una
matriz cuadrada A de orden n es la matriz, A-1, de orden N que verifica:


donde I es la matriz identidad de orden n. .

Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:

Cálculo de la matriz inversa
Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:


Mediante la definicionEjemplo



hacemos




como:


Operando:
Método de Gauss-Jordan

La inversa de una matriz regular A se calcular transformando la matriz (AlI) mediante operaciones elementales por filas en la matriz (ILA-1)


Operaciones elementales por filas en una matriz

Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:

1. Intercambiar las filas i y j que designaremos por Fi=Fj

2. Multiplicar la fila i por el numero k=0 y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi=k.Fi

3. Sumar la fila i con la fila j y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi=Fi+Fj

4. Sumar las filas i y j , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila i o j . Lo designamos por Ft o Fj=k.Fi+.Fjk


Definiciones básicas
Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A.
Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama aij o Aij.


Operaciones con matrices


Trasposición


La matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = AT, entonces B es la matriz n×m con bij = aji.

Suma, Resta


Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij + Bij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)ij = Aij - Bij.
Producto escalar Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el producto escalar por la matriz, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij).
Producto Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados.


Álgebra de matrices


La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:
Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.

Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.
Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:




La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.


Forma matriz de un sistema de ecuaciones lineales

Una aplicación importante de multiplicación entre matrices es la siguiente: El sistema de ecuaciones lineales





se puede escribir como la ecuación matriz
AX = B
donde



X = [x1, x2, x3, . . . , xn]T
y
B = [b1, b2, x3, . . . , bm]T


Matriz inversa
Sea A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz cuadrada A puede tener una inversa, que se escribe como A-1, con la propiedad
AA-1 = A-1A = I.
Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular.
En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación
AX = B
multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por A-1, que nos da
X = A-1B.


Determinar si una matriz es invertible


Para determinar si una matriz n×n A es invertible o no, y encontrar A 1 si existe, escriba la matriz n×(2n) [A I] (esta es A con la matriz unidad n×n a su lado).
Reduzca esta matriz hasta a la forma escalonada reducida.
Si la forma reducida es [I B] (es decir, tiene la matriz unidad en la parte izquierda), entonces A es invertible y B = A-1. Si no puedes obtener I en la parte izquierda, entonces A es singular.


Inversa de una matriz 2×2


La matriz 2×2


es invertible si ad - bc no es cero y es singular si ad - bc = 0. El número ad - bc se llama el determinante de la matriz. Cuando la matriz es invertible su inversa se expresa por la formula


Aplicación: modelos económicos de insumo-producto


Una matriz insumo-producto para una economía da, en su ja columna, las cantidades (en dólares o otra moneda apropiada) del productos de cada sector usado como insumo por sector j (en un año o otra apropiada unidad de tiempo). Da también la producción total de cada sector de la economía durante un año (llamada el vector producción cuando está escrito como una columna).
La matriz tecnología
La matriz tecnología es la matriz que se obtiene dividiendo cada columna por la producción total del sector correspondiente. Su ija entrada , el ijo coeficiente tecnología, da el insumo de sector i para producir una unidad de producto del sector j. Un vector demanda es un vector columna que expresa la demanda total desde fuera la economía de los productos de cada sector. Sea A la matriz tecnología, X el vector producción, y D el vector demanda, entonces
(I - A)X = D,
o
X = (I - A)-1D. Estas mismas ecuaciones son válidas si D es un vector que representa cambio de demanda, y X es un vector que representa cambio de producción. Las entradas en una columna de (I - A)-1 representan el cambio en producción de cada sector necesario para satisfacer una unidad de cambio de demanda en el sector que corresponde a aquella columna, tomando en cuenta todos los efectos directos y indirectos.









ARYA, J. C. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon.



(2015). Expansión por cofactores.En: nolinea… Consultado elSábado, 14 de noviembre de 2015 Se encuentra en: http://marinolineal.blogspot.mx/2009/06/matriz-de-cofactores.html

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