MODULO
1. Introducción al cálculo en dos variables.
En el semestre he aprendido que los cálculos con variables son las herramientas
que vamos a usar en lo sucesivo para materias en las que se requiera de mesclar
datos y pronosticar un resultado
MODULO 2. Integración
Con la integración podemos de detectar el comportamiento del consumidor
MODULO 3. Integral Definida
En la integral podemos determinar el tamaño y de una tendencia de compra en un análisis
de venta
MODULO 4. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Estos son importantes ya que estos se utilizan simple mente para determinar el
impuesto a pagar
Entender los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.
Un sistema de
ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema
de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:
El número de
ecuaciones es igual al número de incógnitas.
El determinante de
la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es distinto de
cero ( det ( A ) # 0 )
Un sistema de Cramer es, por definición,
compatible determinado, puesto que
se cumple que rango (A) = rango (A*) = n
(nº de incógnitas).
Consideremos un sistema
de Cramer, es decir, un sistema de
n
ecuaciones lineales con nincógnitas, cuya expresión
general es la siguiente:
Sean A
la matriz del sistema(matriz de los
coeficientes), entonces det (A) # 0.
Llamaremos matriz asociada a la incógnitaxi y la
designaremos por
Ai a la matriz que
se obtiene al sustituir en la matriz del sistema la columna i por la matriz columna de los
términos independientes. Es decir:
Todos los sistemas de Cramer son compatibles determinados. El valor de
cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante de la matriz
asociada a dicha incógnita por la matriz del sistema (matriz de los
coeficientes de las incógnitas).
¿Se
puede aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones
lineales compatibles que tengan más ecuaciones que incógnitas?
La respuesta es afirmativa. Basta con obtener un
sistema equivalente al inicial eliminando las ecuaciones superfluas o
dependientes (proporcionales, nulas o que sean combinación lineal de
otras). El procedimiento a seguir es el siguiente: Supongamos que
tenemos un sistema de m ecuaciones
lineales con n
incógnitas, siendo m > n
y tal que: rango (A) = rango (A*) = n.
Por lo tanto, sobran m - n
ecuaciones. Para averiguar cuáles son las ecuaciones de las
que podemos prescindir, basta encontrar en la
matriz de los coeficientes ( A
) un menor de orden n
distinto de cero, por ejemplo, el que utilizamos para averiguar el rango
de la matriz A. Las filas que
intervienen en este menor son las que corresponden a las ecuaciones
principales. Las restantes ecuaciones las podemos suprimir.
El siguiente botón abre
una ventana que explica, mediante un ejemplo, el procedimiento a seguir.
Un
sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado. Pero, ¿Se
puede aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones
lineales compatibles indeterminados?
La respuesta es también
afirmativa. El procedimiento a
seguir es el siguiente: Supongamos que tenemos un sistema de
m ecuaciones lineales con n
incógnitas, tal que: rango (A)
= rango (A*) = k < n. Por lo tanto, sobran m - k ecuaciones y, además, hay
n - k incógnitas no principales.
Para averiguar cuáles son las ecuaciones de las que podemos prescindir,
y cuáles son las incógnitas no principales, basta encontrar en la
matriz de los coeficientes ( A ) un menor de orden k distinto de cero, por ejemplo,
el que utilizamos para averiguar el rango de la matriz A. Las filas que intervienen en este
menor son las que corresponden a las ecuaciones principales
o independientes. Las
restantes ecuaciones las podemos suprimir. Las columnas que figuran en
dicho menor corresponden a las incógnitas principales. Las incógnitas
no
principales las pasamos al otro miembro y pasan a formar un único
término junto con el término independiente. Se obtiene, de este modo, un
sistema de k ecuaciones lineales con
k incógnitas, cuyas soluciones
van a depender de n - k parámetros
(correspondientes a las incógnitas no principales).
El siguiente botón abre
una ventana que explica, mediante un ejemplo, el procedimiento a seguir.
La siguiente escena
resuelve cualquier sistema de ecuaciones lineales compatible (determinado o
indeterminado), utilizando la Regla de Cramer.
El número máximo de ecuaciones y de incógnitas que puede tener el
sistema es 5.
ARYA, J. C. (2009).
Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon.
(2015). Regla de
Cramer.En: rsostic… Consultado elSábado, 14 de noviembre de 2015 Se encuentra
en:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_de_ecuaciones_lineales_2bcnt/regla_de_cramer.htm
Entender los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.
Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son
útiles para simplificar su evaluación.
En los párrafos siguientes consideramos queAes una matriz cuadrada.
Propiedad 1.
Si una matrizAtiene un renglón (o una columna) de ceros,
el determinante de A es cero.
Ejemplo 1.
Sea
Desarrollando por cofactores
del primer renglón se tiene
Propiedad 2.
El determinante de una matrizAesigual al determinante de la transpuesta
deA.
Esto es
Ejemplo 2.
Sea
La transpuesta de Aes
Propiedad 3.
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una
matrizA entonces el
determinante cambia de signo.
Ejemplo 3.
Seacon
Intercambiando los renglones1y2la matriz queda
con
Note que los determinantes se calcularon expandiendo por
cofactores de la primera columna.
Propiedad 4.
Si una matrizAtiene dos renglones (o dos columnas)
igualesentoncesdet A = 0.
Ejemplo 4.
Seaentonces
Propiedad 5.
Cuando un solo renglón (o columna) de una matrizAse multiplica por un escalarrel determinante dela matrizresultante esrveces el determinante deA,r det A.
Ejemplo 5.
Seacuyo determinante
se calculó en el ejemplo 2,
Multiplicando el tercer renglón de A por el
escalarr = 3 se tiene la
matrizB siguiente
cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera
columna de B es
Propiedad 6.
Si un renglón de la matrizAse multiplica
por un escalarr y se suma a otro renglónde A,entonces el determinante de la matriz resultante es igualal determinante de A,det A.Lo mismo se cumple para las columnas de A.
Ejemplo 6.
Seacuyo determinante
se calculó en el ejemplo 2,
Multiplicando la segunda columna de A por el
escalar2y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B
siguiente
Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene
Propiedad 7.
SiAyB
son matrices de , el determinante del producto AB es igual al
producto de los determinantes de A y de B.
Esto es
Ejemplo 7.
Seany
cony
El producto
Y su determinantees
Entonces.
Propiedad 8.
El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)
Ejemplo 8.
I = det
I = (1)(1) – (0)(0) = 1
Propiedad9.
El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero)
Ejemplo 9.
J = |J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0
Se
puede fácilmente comprobar que la matriz J
no tiene inversa.
Uso de las propiedades para calcular determinantes de
alto orden.
Al utilizar las operaciones elementales sobre renglones, se
puede reducir un determinante a una forma mas fácil de evaluar.Si se reduce a una forma triangular superior
o inferior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal
principal.Al hacerlo hay que tomar en
cuenta las propiedades 3,5y6,como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 10.
Calcular el determinante de la matrizAde
Simplificamos el cálculo del determinante de Areduciendo por renglones
Entonces, la permutación P14cambia el signo dedet A , las operacionesynocambian el valor del determinante.
De esta forma
Se podría seguir reduciendo a la forma triangular, pero
observando que hay varios ceros en el tercer renglón resulta fácil desarrollar
por cofactores, primero de la primera columna, y después del tercer renglón:
ARYA, J. C. (2009).
Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon.
(2015). Propiedades
de los determinantes.En: ens.uab… Consultado elSábado, 14 de noviembre de
2015 Se encuentra en:
http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/III%20Dets/propiedadesdets.htm
Entender los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios. Sea A una matrizcuadrada de orden n .Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente Ai,j.Por ejemplo, con n = 4, i = 3 y j = 2:
El determinante de esta submatriz se llama la menor relativa a la casilla (i, j): M i, j = det( A i, j ) . En el ejemplo, M3,2 = 34
El
cofactor de ai,j, es decir el cofactor relativo a la casilla (i, j) de
la matriz A =( ai,j ), es la menor multiplicada por el signo (-1) i + j.
Se le nota c i, j = (-1) i + j · Mi,j o ai,j con una tilde encima.
En el ejemplo, c 3, 2 = (-1)5 × 34 = -34.
La
matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota com A
o A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A, cuando existe, gracias a la relación:A·tcom A =tcom A · A = det A· In, donde In es la matriz identidad de orden n.
Matriz inversa
Definición
La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz, A-1, de orden N que verifica:
donde I es la matriz identidad de orden n. .
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares. Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:
Cálculo de la matriz inversa
Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:
Mediante la definicionEjemplo
hacemos
como:
Operando:
Método de Gauss-Jordan
La
inversa de una matriz regular A se calcular transformando la matriz
(AlI) mediante operaciones elementales por filas en la matriz (ILA-1)
Operaciones elementales por filas en una matriz
Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
1. Intercambiar las filas i y j que designaremos por Fi=Fj
2. Multiplicar la fila i por el numero k=0 y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi=k.Fi
3. Sumar la fila i con la fila j y sustituirla por el resultado; lo designamos por Fi=Fi+Fj
4.
Sumar las filas i y j , multiplicadas por sendos números, y llevar el
resultado a la fila i o j . Lo designamos por Ft o Fj=k.Fi+.Fjk
Definiciones básicas
Una
matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m
reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas
son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A. Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama aij o Aij.
Operaciones con matrices
Trasposición
La
matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene
cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A
una matiz m×n y B = AT, entonces B es la matriz n×m con bij = aji.
Suma, Resta
Sea
A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se
obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij +
Bij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas
correspondientes. En símbolos, (A-B)ij = Aij - Bij. Producto escalar
Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto),
definimos el producto escalar por la matriz, cA, como la matriz que se
obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij =
c(Aij). Producto Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz
con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene
dimenciones m×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i
de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas
correspondientes y sumar las resultados.
Álgebra de matrices
La
matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas
las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1.
En símbolos: Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.
Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero. Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:
La
única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del
producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo:
AB no es igual a BA en general.
Forma matriz de un sistema de ecuaciones lineales
Una aplicación importante de multiplicación entre matrices es la siguiente: El sistema de ecuaciones lineales
se puede escribir como la ecuación matriz AX = B donde
X = [x1, x2, x3, . . . , xn]T y B = [b1, b2, x3, . . . , bm]T
Matriz inversa
Sea
A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es
igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en
una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz
cuadrada A puede tener una inversa, que se escribe como A-1, con la
propiedad AA-1 = A-1A = I. Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular. En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación AX = B multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por A-1, que nos da X = A-1B.
Determinar si una matriz es invertible
Para
determinar si una matriz n×n A es invertible o no, y encontrar A 1 si
existe, escriba la matriz n×(2n) [A I] (esta es A con la matriz unidad
n×n a su lado). Reduzca esta matriz hasta a la forma escalonada reducida. Si
la forma reducida es [I B] (es decir, tiene la matriz unidad en la
parte izquierda), entonces A es invertible y B = A-1. Si no puedes
obtener I en la parte izquierda, entonces A es singular.
Inversa de una matriz 2×2
La matriz 2×2
es invertible si ad - bc no es cero y es singular si ad - bc = 0. El
número ad - bc se llama el determinante de la matriz. Cuando la matriz
es invertible su inversa se expresa por la formula
Aplicación: modelos económicos de insumo-producto
Una
matriz insumo-producto para una economía da, en su ja columna, las
cantidades (en dólares o otra moneda apropiada) del productos de cada
sector usado como insumo por sector j (en un año o otra apropiada unidad
de tiempo). Da también la producción total de cada sector de la
economía durante un año (llamada el vector producción cuando está
escrito como una columna).
La matriz tecnología
La
matriz tecnología es la matriz que se obtiene dividiendo cada columna
por la producción total del sector correspondiente. Su ija entrada , el
ijo coeficiente tecnología, da el insumo de sector i para producir una
unidad de producto del sector j. Un vector demanda es un vector columna
que expresa la demanda total desde fuera la economía de los productos de
cada sector. Sea A la matriz tecnología, X el vector producción, y D el
vector demanda, entonces (I - A)X = D, o X = (I - A)-1D. Estas
mismas ecuaciones son válidas si D es un vector que representa cambio
de demanda, y X es un vector que representa cambio de producción. Las
entradas en una columna de (I - A)-1 representan el cambio en producción
de cada sector necesario para satisfacer una unidad de cambio de
demanda en el sector que corresponde a aquella columna, tomando en
cuenta todos los efectos directos y indirectos.
ARYA, J. C. (2009).
Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon.
(2015). Expansión
por cofactores.En: nolinea… Consultado elSábado, 14 de noviembre de 2015 Se
encuentra en:
http://marinolineal.blogspot.mx/2009/06/matriz-de-cofactores.html
Hacer que nuestros lectores adquirirán destrezas en el manejo de técnicas y procedimientos para la solución de problemas. Mediante el uso de lenguaje matemático, de la sistematización de información y de las formas de representación gráfica y analítica
.png)
, el determinante del producto AB es igual al
producto de los determinantes de A y de B.
.
